Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，其底面邊長(zhǎng)為4，高為

6

，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)．
（1）求二面角B-EF-B₁的大�。�
（2）求VB1-BEF．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角B-EF-B₁的大小．
（2）由VB1-BEF=

1

3

×S△BEF×BB1，能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
B（4，4，0），E（4，2，0），
F（2，4，0），B₁（4，4，

6

），

EF

=（-2，2，0），

EB1

=（0，2，

6

），
設(shè)平面B₁EF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • EF =-2x+2y=0 n • EB1 =2y+ 6 z=0

，
取z=

6

，得

n

=（-3，-3，

6

），
又平面BEF的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

n

，

m

＞=

6

9+9+6

=

1

2

，
∴＜

n

，

m

＞=60°，
∴二面角B-EF-B₁的大小為60°．
（2）VB1-BEF=

1

3

×S△BEF×BB1
=

1

3

×

1

2

×2×2×

6

=

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的大小的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．