Question

將y=lnx繞原點O旋轉(zhuǎn)角θ，第一次與y軸相切，求sin2θ．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)y=lnx的圖象的切線的斜率為k，切點坐標為（x₀，y₀），由題意可得 k=

lnx0

x0

=

1

x0

，求得x₀=e．再由tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

k

=x₀=e，根據(jù)萬能公式即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)y=f（x）=lnx的圖象的切線的斜率為k，
設(shè)切點坐標為（x₀，y₀），
則由題意可得，切線的斜率為：k=

y0

x0

=

lnx0

x0

，再由導數(shù)的幾何意義可得 k=f′（x₀）=

1

x0

，
∴

lnx0

x0

=

1

x0

，
∴x₀=e．
再由θ的意義可得，lnx的圖象的切線逆時針旋轉(zhuǎn)角θ后落在了y軸上，
故有tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

k

=x₀=e，
∴sin2θ=

2tanθ

1+tan2θ

=

2e

1+e2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)的意義及其應(yīng)用，直線的斜率公式，函數(shù)圖象的變化，考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，萬能公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．