已知點F1、F2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABF2為銳角三角形，則雙曲線的離心率e的取值范圍是
 
．
分析：先求出A，B兩點的縱坐標，由△ABF2是銳角三角形知，tan∠AF2F1=
b2
a
2c
＜1，e2-2e-1＜0，解不等式求出e 的范圍．
解答：解：在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)中，
令x=-c 得，y=±
b2
a
，∴A，B兩點的縱坐標分別為±
b2
a
．
由△ABF2是銳角三角形知，∠AF2F1＜
π
4
，tan∠AF2F1=
b2
a
2c
＜tan
π
4
=1，
∴
c2-a2
2ac
＜1，c2-2ac-a2＜0，e2-2e-1＜0，∴1-
2
＜e＜1+
2
．
又 e＞1，∴1＜e＜1+
2
，
故答案為：（1，1+
2
）．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，判斷∠AF2F1＜
π
4
，tan
π
4
=
b2
a
2c
＜1，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•聊城一模）已知點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點，P是橢圓C上的一點，且|F1F2|=2，∠F1PF2=
π
3
，△F1PF2的面積為
3
3

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點M的坐標為(
5
4
，0)，過點F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，對于任意的k∈R，
MA
•
MB
是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•青州市模擬）已知點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F2的距離的最大值為
2
+1，且△PF1F2的最大面積為1．
（ I）求橢圓C的方程．
（ II）點M的坐標為(
5
4
，0)，過點F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A，B兩點．對于任意的k∈R，
MA
•
MB
是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F2（1，0）的距離的最大值為
2
+1．
（1）求橢圓C的方程．
（2）點M的坐標為（
5
4
，0），過點F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．對于任意的k∈R，
MA
•
MB
是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：山東省期中題 題型：解答題

已知點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F2的距離的最大值為+1，且△PF1F2的最大面積為1。
（1）求橢圓C的方程。
（2）點M的坐標為，過點F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A，B兩點。對于任意的k∈R，是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由。 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山東省青島十九中高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：的左右焦點，P是橢圓C上的一點，且的面積為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點M的坐標為，過點F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，對于任意的是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由．

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