試題分析:
(1)(2)(3)均可利用坐標(biāo)法,即分別以
建立三維空間坐標(biāo)系.下面重點(diǎn)分析法2
(1)利用勾股定理可以求的線段
的長,而要證明
面
,只需要證明
,首先可以三次利用勾股定理把
的三條邊長求出,再利用勾股定理證明
,線段
為等腰直角三角形ABC的三線合一即有
,可得到
面
,進(jìn)而得到
,即可通過線線垂直證明
面DAE.
(2)要求二面角
的余弦值,需要作出該二面角的平面角,為此過D做DM⊥AE于點(diǎn)M,連接B
1M.,根據(jù)第一問有
面AED且
可以得到
面
,則
即為所求二面角的平面角,即該角的余弦值為
.利用勾股定理即可得到
的長,進(jìn)而得到二面角的余弦值.
(3)由(1)可得
面
,則該三棱錐可以以
作為底面,高為
來求的體積,而AD和三角形的面積都可以用勾股定理求的.
試題解析:
法1:依題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042052110632.png" style="vertical-align:middle;" />=4,所以A(0,0,0),B(4,0,0),E(0,4,2),D(2,2,0),B
1(4,0,4). (1分)
(1)
,
,
. (2分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042052188796.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,即
. (3分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042052235878.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,即
. (4分)
又AD、AEÌ平面AED,且AD∩AE=A,故
⊥平面
. (5分)
(2)由(1)知
為平面AED的一個法向量. (6分)
設(shè)平面 B
1AE的法向量為
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042052157742.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
所以由
,得
,令y=1,得x=2,z=-2.即
.(7分)
∴
, (8分)
∴二面角
的余弦值為
. (9分)
(3)由
,
,得
,所以AD⊥DE. (10分)
由
,
,得
. (11分)
由(1)得B
1D為三棱錐B
1-ADE的高,且
, (12分)
所以
. (13分)
法2:依題意得,
平面ABC,
,
,
,
.
(1)∵
,D為BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.
∵B
1B⊥平面ABC,AD
平面ABC,∴AD⊥B
1B.
BC、B
1B
平面B
1BCC
1,且BC∩B
1B=B,所以AD⊥平面B
1BCC
1.
又B
1D
平面B
1BCC
1,故B
1D⊥AD . (2分)
由
,
,
,
得
,所以
. (4分)
又AD、DE
平面AED,且AD∩DE=E,故
⊥平面
. (5分)
(2)過D做DM⊥AE于點(diǎn)M,連接B
1M.
由B
1D⊥平面AED,AE
平面AED,得AE ⊥B
1D.
又B
1D、DM
平面B
1DM,且B
1D∩DM=D,故AE⊥平面B
1DM.
因?yàn)锽
1M
平面B
1DM,所以B
1M⊥AE.
故∠B
1MD為二面角B
1—AE—D的平面角. (7分)
由(1)得,AD⊥平面B
1BCC
1,又DE
平面B
1BCC
1,所以AD⊥DE.
在Rt△AED中,
, (8分)
在Rt△B
1DM中,
,
所以
,即二面角B
1—AE—D的余弦值為
. (9分)
(3)由(1)得,AD⊥平面B
1BCC
1,
所以AD為三棱錐A-B
1DE的高,且
. (10分)
由(1)得
. (11分)
故
. (13分)