【題目】O為坐標原點,直線l與圓x2+y2=2相切.
(1)若直線l分別與x、y軸正半軸交于A、B兩點,求△AOB面積的最小值及面積取得最小值時的直線l的方程.
(2)設直線l交橢圓 =1于P、Q兩點,M為PQ的中點,求|OM|的取值范圍.
【答案】
(1)解:設直線l的方程為 =1(a,b>0),
由直線和圓x2+y2=4相切,可得 = ,
即有 = ≥ ,即ab≥4,
當且僅當a=b=2時,取得等號.
則△AOB面積S= ab的最小值為2;
此時直線的方程為x+y﹣2=0
(2)解:若直線的斜率不存在,設為x=t,
由直線和圓相切可得,t=﹣ 或 .
代入橢圓方程可得,y=± ,
可得中點M坐標為(﹣ ,0)或( ,0),|OM|= ;
設直線l的方程為y=kx+m,代入橢圓方程可得,
(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣6=0,
△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣6)>0,
即為m2<3+6k2,
由直線和圓相切,可得 = ,
即為m2=2+2k2,由2+2k2<3+6k2,可得k∈R,
設P,Q的坐標為(x1,y1),(x2,y2),
可得x1+x2=﹣ ,中點M的坐標為(﹣ , ),
即有|OM|= =
設1+2k2=t(t≥1),則|OM|= =
= ,由t≥1可得t=2取得最大值 ,
t=1時,取得最小值 .
故|OM|的范圍是[ , ]
【解析】(1)設出直線方程,由直線和圓相切的條件:d=r,結合基本不等式,即可得到面積的最小值和此時直線的方程;(2)討論直線的斜率不存在和存在,設出直線方程為y=kx+m,代入橢圓方程,運用韋達定理和中點坐標公式,結合判別式大于0,化簡整理即可得到所求范圍.
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【題目】如圖,在矩形中,E為的中點,將沿翻折到的位置,平面,為的中點,則在翻折過程中,下列結論正確的是( )
A.恒有 平面
B.B與M兩點間距離恒為定值
C.三棱錐的體積的最大值為
D.存在某個位置,使得平面⊥平面
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【題目】
已知是遞增數列,其前項和為,,且,.
(Ⅰ)求數列的通項;
(Ⅱ)是否存在使得成立?若存在,寫出一組符合條件的的值;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)設,若對于任意的,不等式
恒成立,求正整數的最大值.
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【題目】某保險公司開設的某險種的基本保費為萬元,今年參加該保險的人來年繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人的下一年度的保費與其與本年度的出險次數的關聯(lián)如下:
本年度出險次數 | ||||||
下一次保費(單位:萬元) |
設今年初次參保該險種的某人準備來年繼續(xù)參保該險種,且該參保人一年內出險次數的概率分布列如下:
一年內出險次數 | ||||||
概率 |
()求此續(xù)保人來年的保費高于基本保費的概率.
()若現如此續(xù)保人來年的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出的概率.
()求該續(xù)保人來年的平均保費與基本保費的比值.
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【題目】我市物價監(jiān)督部門為調研某公司新開發(fā)上市的一種產品銷售價格的合理性,對該公司的產品的銷售與價格進行了統(tǒng)計分析,得到如下數據和散點圖:
定價(元/) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
年銷售 | 1150 | 643 | 424 | 262 | 165 | 86 |
14.1 | 12.9 | 12.1 | 11.1 | 10.2 | 8.9 |
圖(1)為散點圖,圖(2)為散點圖.
(Ⅰ)根據散點圖判斷與,與哪一對具有較強的線性相關性(不必證明);
(Ⅱ)根據(Ⅰ)的判斷結果和參考數據,建立關于的回歸方程(線性回歸方程中的斜率和截距均保留兩位有效數字);
(Ⅲ)定價為多少時,年銷售額的預報值最大?(注:年銷售額定價年銷售)
參考數據:,,,,, ,,,
參考公式:,.
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【題目】選修4﹣4:極坐標與參數方程
極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位,以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸.已知曲線C1的極坐標方程為 ,曲線C2的極坐標方程為ρsinθ=a(a>0),射線 , 與曲線C1分別交異于極點O的四點A,B,C,D.
(Ⅰ)若曲線C1關于曲線C2對稱,求a的值,并把曲線C1和C2化成直角坐標方程;
(Ⅱ)求|OA||OC|+|OB||OD|的值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,是橢圓上一點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點,是直線上任意一點.證明:直線的斜率成等差數列.
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【題目】如圖,AB是圓O的直徑,C為圓周上一點,過C作圓O的切線l,過A作直線l的垂線AD,D為垂足,AD與圓O交于點E.
(1)求證:ABDE=BCCE;
(2)若AB=8,BC=4,求線段AE的長.
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