設為實數(shù),函數(shù)
(Ⅰ)求的單調區(qū)間與極值;
(Ⅱ)求證:當且時,
(Ⅰ)的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是,極小值為;(Ⅱ) 見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)直接根據(jù)導數(shù)和零的大小關系求得單調區(qū)間,并由單調性求得極值;(Ⅱ)先由導數(shù)判斷出在R內單調遞增,說明對任意,都有,而,從而得證.
試題解析:(1)解:由知,.
令,得.于是,當變化時,和的變化情況如下表:
故的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是.在處取得極小值,極小值為. 0 + 單調遞減 單調遞增
(2)證明:設,于是.
由(1)知,對任意,都有,所以在R內單調遞增.
于是,當時,對任意,都有,而,
從而對任意,都有,即故
考點:1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性;2. 利用導數(shù)求函數(shù)極值3.利用函數(shù)的最值證明不等式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù)f(x)=+ax-lnx(a∈R).
(Ⅰ)當a=1時,求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當a≥2時,討論函數(shù)f(x)的單調性;
(Ⅲ)若對任意及任意,∈[1,2],恒有成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù)(其中).
(1) 當時,求函數(shù)的單調區(qū)間和極值;
(2) 當時,函數(shù)在上有且只有一個零點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ)求證:(,e是自然對數(shù)的底數(shù)).
提示:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,某自來水公司要在公路兩側排水管,公路為東西方向,在路北側沿直線排,在路南側沿直線排,現(xiàn)要在矩形區(qū)域內沿直線將與接通.已知,,公路兩側排管費用為每米1萬元,穿過公路的部分的排管費用為每米2萬元,設與所成的小于的角為.
(Ⅰ)求矩形區(qū)域內的排管費用關于的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)求排管的最小費用及相應的角.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為常數(shù),e=2.718…,且函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行.
(1)求常數(shù)a的值;(2)若存在x使不等式>成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)對于函數(shù)y=f(x)和y=g(x)公共定義域內的任意實數(shù)x0,我們把|f(x0)-g(x0)|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差.求證:函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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