Question

某小型機(jī)械廠共有工人100名，工人年薪4萬元/人．據(jù)悉該廠每年生產(chǎn)x臺機(jī)器，除工人工資外，還需投入成本C（x）（萬元），C（x）=

1 3 x2+10x    (0＜x＜70) 51+ 10000 x -1450   (70≤x≤150)

，且每臺機(jī)器售價為50萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的機(jī)器能全部售完．
（Ⅰ）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）求年產(chǎn)量為多少臺時，該廠在生產(chǎn)中所獲利潤最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用售價減成本，減工人工資，可得年利潤年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）分段求最值，比較其大小，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）利用售價減成本，減工人工資，可得年利潤
L（x）=

50x- 1 3 x2-10x-400    (0＜x＜70) 50x-51- 10000 x +1450-400   (70≤x≤150)

=

- 1 3 x2+40x-400    (0＜x＜70) 1050-(x+ 10000 x )  (70≤x≤150)

；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜70時，L（x）=-

1

3

(x-60)2+800
∴x=60時，L（x）取得最大值800萬元；
當(dāng)70≤x≤150時，L（x）=1050-（x+

10000

x

）≤1050-2

x• 10000 x

=850
當(dāng)且僅當(dāng)x=

10000

x

，即x=100時，L（x）取得最大值850萬元
綜上，年產(chǎn)量為100臺時，該廠在生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大為850萬元．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．