Question

S={直線l|

sinθ

m

x+

cosθ

n

y=1，m，n為正常數(shù)，θ∈[0，2π）}，給出下列結論：
①當θ=

π

4

時，S中直線的斜率為

n

m

；
②S中所有直線均經(jīng)過同一個定點；
③當m=n時，存在某個定點，該定點到S中的所有直線的距離相等；
④當m＞n時，S中的兩條平行線間的距離的最小值為2n；
⑤S中的所有直線可覆蓋整個直角坐標平面．
其中錯誤的結論是

 

．（寫出所有錯誤結論的編號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：直線與圓,簡易邏輯

分析：①當θ=

π

4

時，sinθ=cosθ，S中直線的斜率為-

n

m

；
②S中所有直線均經(jīng)過一個定點，不正確；
③當m=n時，方程為xsinθ+ycosθ=m，存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等；
④當m＞n時，S中的兩條平行直線間的距離為d=

2

sin2θ m2 + cos2θ n2

≥2n，可得最小值為2n；
⑤由（0，0）不滿足方程判斷命題錯誤．

解答： 解：①當θ=

π

4

時，sinθ=cosθ，S中直線的斜率為-

n

m

，故①不正確；
②根據(jù)

sinθ

m

x+

cosθ

n

y=1，可知S中所有直線不可能經(jīng)過一個定點，②不正確；
③當m=n時，方程為xsinθ+ycosθ=m，存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等，③正確；
④當m＞n時，S中的兩條平行直線間的距離為d=

2

sin2θ m2 + cos2θ n2

≥2n，即最小值為2n，④正確；
⑤（0，0）不滿足方程，∴S中的所有直線不可覆蓋整個平面．
故答案為：①②⑤．

點評：本題考查直線系方程的應用，要明確直線系中直線的性質，結合圖形，判斷各個命題的正確性．