Question

（本小題15分）已知函數(shù)f(x)=(1+x)²-aln(1+x)²在(-2,-1)上是增函數(shù)，
在（-∞，-2）上為減函數(shù).
（1）求f(x)的表達(dá)式；
（2）若當(dāng)x∈時(shí)，不等式f(x)＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)b使得關(guān)于x的方程f(x)=x²+x+b在區(qū)間［0，2］上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，若存在，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².(2)需m＞e²-2；
（3）存在這樣的實(shí)數(shù)b,當(dāng)2-2ln2＜b≤3-2ln3時(shí)滿足條件.

本試題主要是考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系和函數(shù)奇偶性以及函數(shù)與不等式的關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f′(x)=2(1+x)-
=2·,
那么依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù)，在（-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時(shí)，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.從而得到解析式。
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,易證函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此若使原不等式恒成立只需求解其最大值m＞e²-2即可.
（3）若存在實(shí)數(shù)b使得條件成立，
方程f(x)=x²+x+b即為x-b+1-ln(1+x)²=0,
要使方程f(x)=x²+x+b在區(qū)間［0，2］上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只需g(x)=0在區(qū)間［0，1］和［1，2］上各有一個(gè)實(shí)根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,
故存在這樣的實(shí)數(shù)b,當(dāng)2-2ln2＜b≤3-2ln3時(shí)滿足條件.
解 （1）∵f′(x)=2(1+x)-
=2·,
依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù)，在（-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時(shí)，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.
代入方程解得a=1,
故f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,
令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2.
（由于x∈，故x₂=-2舍去），
易證函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在［0，e-1］上單調(diào)遞增，
且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2,
故當(dāng)x∈時(shí)，f(x)_max=e²-2,
因此若使原不等式恒成立只需m＞e²-2即可.
（3）若存在實(shí)數(shù)b使得條件成立，
方程f(x)=x²+x+b
即為x-b+1-ln(1+x)²=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,
則g′(x)=1-=,
令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,
令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,
故g(x)在［0，1］上單調(diào)遞減，在［1，2］上單調(diào)遞增，要使方程f(x)=x²+x+b在區(qū)間［0，2］上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只需g(x)=0在區(qū)間［0，1］和［1，2］上各有一個(gè)實(shí)根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,
故存在這樣的實(shí)數(shù)b,當(dāng)2-2ln2＜b≤3-2ln3時(shí)滿足條件.