Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)滿足，其中常數(shù)a，b∈R.

（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）設(shè)，求函數(shù)g（x）的極值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x2+2ax+b，利用約束條件列出方程，求出a，b，求出切點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，然后求解切線方程;（2）化簡(jiǎn)g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x，求出導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值即可．

（1）∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

則解得

∴f（x）＝x3－x2－3x＋1，∴f（1）＝－，f′（1）＝－3，

∴y＝f（x）在（1，f（1））處的切線方程為

y－＝－3（x－1），即6x＋2y－1＝0；

（2）由（1）知g（x）＝（3x2－3x－3）e－x，

∴g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，

令g′（x）＝0，即（－3x2＋9x）e－x＝0，得x＝0或x＝3，

當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，g′（x）<0，

故g（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈（0,3）時(shí)，g′（x）>0，故g（x）在（0,3）上單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈（3，＋∞）時(shí)，g′（x）<0，

故g（x）在（3，＋∞）上單調(diào)遞減.

從而函數(shù)g（x）在x＝0處取得極小值g（0）＝－3，

在x＝3處取得極大值g（3）＝15e－3.