Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的點到左焦點為F的最大距離是2+

3

，已知點M（1，e）在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點且斜率為K的直線交橢圓于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在x軸上的射影為點N，直線QN交橢圓于另一點H．證明：對任意的K＞0，點P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓上的點到左焦點為F的最大距離是2+

3

，M（1，e）在橢圓上，建立方程組，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線QN的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由題意，

a+c=2+ 3 1 a2 + c2 a2b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）證明：令P（x₁，kx₁），H（x_H，y_H），則Q（-x₁，-kx₁），N（x₁，0）
∴k_PN=

k

2

，∴直線QN的方程為y=

k

2

（x-x₁），
代入

x2

4

+y2=1，整理得（1+k²）x²-2k²x₁x+k2x12-4=0
∴（-x₁）+x_H=

2k2x1

1+k2

，∴x_H=

2k2x1

1+k2

+x₁，
∴

PQ

=（-2x₁，-2kx₁），

PH

=（

2k2x1

1+k2

，

-kx1

1+k2

）
∴

PQ

•

PH

=

-2k2x12

1+k2

∵k＞0，x₁＞0，∴

PQ

•

PH

＜0
∴對任意的k＞0，點P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi)．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．