Question

【題目】已知向量 =（1+cosωx，1）， =（1，a+ sinωx）（ω為常數(shù)且ω＞0），函數(shù)f（x）= 在R上的最大值為2．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移 個單位，可得函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0， ]上為增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=1+cosωx+a+ sinωx=2sin（ωx+ ）+a+1．

因為函數(shù)f（x）在R上的最大值為2，

所以3+a=2，故a=﹣1．

（2）解：由（1）知：f（x）=2sin（ωx+ ），

把函數(shù)f（x）=2sin（ωx+ ）的圖象向右平移 個單位，可得函數(shù)

y=g（x）=2sinωx．

又∵y=g（x）在[0， ]上為增函數(shù)，

∴g（x）的周期T= ≥π，即ω≤2，

∴ω的最大值為2

【解析】（1）把向量 =（1+cosωx，1）， =（1，a+ sinωx）（ω為常數(shù)且ω＞0），代入函數(shù)f（x）= 整理，利用兩角和的正弦函數(shù)化為2sin（ωx+ ）+a+1，根據(jù)最值求實(shí)數(shù)a的值；（2）由題意把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移 個單位，可得函數(shù)y=g（x）的圖象，利用y=g（x）在[0， ]上為增函數(shù)，就是周期≥π，然后求ω的最大值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識，掌握圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，以及對三角函數(shù)的最值的理解，了解函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值為；當(dāng)時，取得最大值為，則，，．