在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面FBC;
(Ⅱ)線(xiàn)段ED上是否存在點(diǎn)Q,使平面EAC⊥平面QBC?證明你的結(jié)論.
分析:(I)利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC,再利用已知AC⊥FB和線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明;
(II)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)平面的法向量是否垂直即可.
解答:(Ⅰ)證明:∵AB=2BC,∠ABC=60°,
在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=3BC2
∴AC2+BC2=4BC2=AB2,∴∠ACB=90°.
∴AC⊥BC.
又∵AC⊥FB,F(xiàn)B∩BC=B,
∴AC⊥平面FBC.
(Ⅱ)
線(xiàn)段ED上不存在點(diǎn)Q,使平面EAC⊥平面QBC.
證明如下:
因?yàn)锳C⊥平面FBC,所以AC⊥FC.
因?yàn)镃D⊥FC,所以FC⊥平面ABCD.
所以CA,CF,CB兩兩互相垂直,如圖建立的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
在等腰梯形ABCD中,可得 CB=CD.
設(shè)BC=1,所以C(0,0,0),A(
3
,0,0),B(0,1,0)
,D(
3
2
,-
1
2
,0),E(
3
2
,-
1
2
,1)

所以
CE
=(
3
2
,-
1
2
,1)
,
CA
=(
3
,0,0),
CB
=(0,1,0)

設(shè)平面EAC的法向量為
n
=(x,y,z),則
n
CE
=0
n
CA
=0

所以
3
2
x-
1
2
y+z=0
3
x=0
取z=1,得
n
=(0,2,1).
假設(shè)線(xiàn)段ED上存在點(diǎn)Q,設(shè)Q(
3
2
,-
1
2
,t)(0≤t≤1)
,所以
CQ
=(
3
2
,-
1
2
,t)

設(shè)平面QBC的法向量為
m
=(a,b,c),則
m
CB
=0
m
CQ
=0

所以
b=0
3
2
a-
1
2
b+tc=0
取c=1,得
m
=(-
2t
3
,0,1)

要使平面EAC⊥平面QBC,只需
m
n
=0
,
即 -
2
3
t×0+0×2+1×1=0
,此方程無(wú)解.
所以線(xiàn)段ED上不存在點(diǎn)Q,使平面EAC⊥平面QBC.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了線(xiàn)面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、通過(guò)距離空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量解決面面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能,考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力.
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2
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1
2
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13
,且M是BD的中點(diǎn).
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