已知a，b，c∈（0，1），求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一個不大于
14
．
分析：首先根據(jù)題意，通過反證法假設(shè)假設(shè)（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于
1
4
，得出：
(1-a)b
+
(1-b)c
+
(1-c)a
＞
3
2
；然后根據(jù)基本不等式，得出
(1-a)b
+
(1-b)c
+
(1-c)a
≤
3
2
．相互矛盾，即可證明．
解答：證明：反證法假設(shè)（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于
1
4

（1-a）b＞
1
4
 （1-b）c＞
1
4
 （1-c）a＞
1
4
 即
(1-a)b
＞
1
2
 ①
(1-b)c
＞
1
2
 ②
(1-c)a
＞
1
2
 ③
①②③相加：
(1-a)b
+
(1-b)c
+
(1-c)a
＞
3
2






由基本不等式a+b≥2
ab



(1-a)b
≤ 
1-a+b
2
 ④
(1-b)c
≤
1-b+c
2
 ⑤
(1-c)a
≤
1-c+a
2
 ⑥
④⑤⑥三式相加
(1-a)b
+
(1-b)c
+
(1-c)a
≤
3
2

與
(1-a)b
+
(1-b)c
+
(1-c)a
＞
3
2
矛盾所以假設(shè)不成立∴命題得證∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一個不大于
1
4
．
點評：本題考查反證法的應(yīng)用，涉及不等式的證明與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈（0，+∞），3a-2b+c=0，則
ac
b
的（　�。�
A、最大值是
3
B、最小值是
3
C、最大值是
3
3
D、最小值是
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞c＞0，若P=
b-c
a
，Q=
a-c
b
，則（　�。�
A、P≥QB、P≤Q
C、P＞QD、P＜Q

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）已知a，b，c∈（0，+∞），且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，求a+2b+3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•浦東新區(qū)一模）（1）A、B、C為斜三角形ABC的三個內(nèi)角，tgA+tgB+1=tgAtgB．求角C；
（2）命題：已知A，B，C∈（0，π），若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，則A+B+C=π．判斷該命題的真假并說明理由．
（說明：試卷中的“tgA”在試點教材中記為“tanA”）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）已知a＞b＞c＞0，求證：a+
3
3(a-b)(b-c)c
≥6（并指出等號成立的條件）

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