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(2007•浦東新區(qū)一模)(1)A、B、C為斜三角形ABC的三個內角,tgA+tgB+1=tgAtgB.求角C;
(2)命題:已知A,B,C∈(0,π),若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC,則A+B+C=π.判斷該命題的真假并說明理由.
(說明:試卷中的“tgA”在試點教材中記為“tanA”)
分析:(1)先根據C=π-(A+B)得到tgC=tg[π-(A+B)]=-tg(A+B)=-
tgA+tgB
1-tgAtgB
,再結合已知條件求出tgC=1即可求出角C;
(2)當tgAtgB≠1時,⇒tg(A+B)(1-tgAtgB)=tgC(tgAtgB-1)⇒tg(A+B)=-tgC⇒A+B=kπ-C⇒A+B+C=kπ,k可以等于2,與A+B+C=π相矛盾,即可說明其為假命題.
解答:解:(1)∵C=π-(A+B),
∴tgC=tg[π-(A+B)]=-tg(A+B)=-
tgA+tgB
1-tgAtgB
-------(4分),
由已知,tgA+tgB=tgAtgB-1
所以tgC=1,又因為C∈(0,π),
所以C=
π
4
-----------(6分)
(2)由tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC,
當tgAtgB≠1時,⇒tg(A+B)(1-tgAtgB)=tgC(tgAtgB-1)-------(8分)
tg(A+B)=-tgC⇒A+B=kπ-C(k為整數)即A+B+C=kπ-------(10分)
因為A,B,C∈(0,π),可以取得A,B,C的值,使得A+B+C=2π,
命題為假-----------(12分)
若tgAtgB=1,則tgA+tgB+tgC=tgC,tgA+tgB=0,這種情況不可能----(14分)
所以,命題是假命題.(10分)
點評:本題主要考查兩角和與差的正切公式的使用,一般在用兩角和與差的正切公式時,可以直接用,也可以變形使用.
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3
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1
3
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3

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2
2
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