已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合,且該橢圓的長軸長為,是橢圓上的的動點.
(1)求橢圓標準方程;
(2)設(shè)動點滿足:,直線的斜率之積為,求證:存在定點,
使得為定值,并求出的坐標;
(3)若在第一象限,且點關(guān)于原點對稱,點軸的射影為,連接 并延長交橢圓于
,求證:以為直徑的圓經(jīng)過點.
(1);(2)存在;(3)證明過程詳見試題解析.

試題分析:(1)由雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合求出橢圓中的,再由,求出所求橢圓方程為;(2)先設(shè),由,結(jié)合橢圓的標準方程可以得到使得為定值;(3)要證明以為直徑的圓經(jīng)過點,就是證明,詳見解析.
試題解析:(1)解:由題設(shè)可知:雙曲線的焦點為,
所以橢圓中的
又由橢圓的長軸為4得
 
故橢圓的標準方程為: 
(2)證明:設(shè),由可得:

由直線的斜率之積為可得:
 ,即 
由①②可得:…6分
M、N是橢圓上,故
,即 
由橢圓定義可知存在兩個定點,使得動點P到兩定點距離和為定值;
(3)證明:設(shè)
由題設(shè)可知 
由題設(shè)可知斜率存在且滿足.……③
 
將③代入④可得:…⑤  
在橢圓,故 
所以 
因此以為直徑的圓經(jīng)過點.
練習冊系列答案
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已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上,的中心和的頂點均為原點,從每條曲線上取兩個點,將其坐標記錄如下:、、
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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

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C.=1  D.=1

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