【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬P﹣ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點E是PC的中點,連接DE,BD,BE.
(1)證明:DE⊥平面PBC.
(2)試判斷四面體EBCD是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;
(3)記陽馬P﹣ABCD的體積為V1 , 四面體EBCD的體積為V2 , 求 的值.

【答案】
(1)證明:因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.

由底面ABCD為長方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,

所以BC⊥平面PCD.

DE平面PCD,所以BC⊥DE.

又因為PD=CD,點E是PC的中點,所以DE⊥PC.

而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC


(2)解:由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,

可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形,即四面體EBCD是一個鱉臑,

其四個面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB


(3)由已知,PD是陽馬P﹣ABCD的高,

所以 = ;

由(1)知,DE是鱉臑D﹣BCE的高,BC⊥CE,

所以

在Rt△PDC中,因為PD=CD,點E是PC的中點,所以DE=CE+

于是 = =4


【解析】(1)推導(dǎo)出PD⊥BC,BC⊥CD,從而BC⊥平面PCD,進而BC⊥DE,再由DE⊥PC,能證明DE⊥平面PBC.(2)由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,能得到四面體EBCD是一個鱉臑,其四個面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(3)由PD是陽馬P﹣ABCD的高,得到 = ;由DE是鱉臑D﹣BCE的高,得到 .由此能求出 的值.

練習(xí)冊系列答案
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