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設奇函數f（x）對任意x∈R都有．
（1）求和的值；
（2）數列{an}滿足：an=f（0）+，數列{an}是等差數列嗎？請給予證明；
（3）設m與k為兩個給定的不同的正整數，{an}是滿足（2）中條件的數列，
證明：（s=1，2，…）．
【答案】分析：（1）直接根據，且f（x）是奇函數把代入即可求出；再結合奇函數得到；把代入即可得到的值；
（2）先設，利用倒序相加法結合第一問的結論，求出，進而求出數列{an}的通項公式，再根據定義即可證得數列{an}是等差數列；
（3）先根據第一問的結論把問題轉化，再利用基本不等式對其放縮即可得到結論．
解答：解：（1）∵，且f（x）是奇函數
∴
∴，故…（2分）
因為，所以．
令，得，即．…（4分）
（2）設
又
兩式相加．
所以，…（6分）
故…（7分）
又．故數列{an}是等差數列．…（8分）
（3）∵
=
=||
要證：（s=1，2，…）
即 …（10分）
∵
∴
即，從而…（12分）
又∵恒成立，
所以有恒成立
即（s=1，2，…）…（14分）
點評：本題主要考察數列與不等式的綜合問題．解決本題第一問的關鍵在于利用奇函數的性質得到．而解決第二問的關鍵在于用到了倒序相加求和．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x≠0時，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）試問：在-2≤x≤2時，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=loga（1-x），g（x）=loga（1+x），（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）設函數F（x）=f（x）-g（x），判斷函數F（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）若關于x的方程g（m+2x-x2）=f（x）有實數根，求實數m的范圍；
（Ⅲ）當a＞1時，不等式f（n-x）＞
12
g（x）對任意x∈[0，1]恒成立，求實數n的范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設奇函數f（x）對任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）數列{an}滿足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，數列{an}是等差數列嗎？請給予證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0．
（1）求證f（x）是奇函數；
（2）判斷f（x）的單調性；
（3）若f（1）=-2，試問在-3≤x≤3，f（x）是否有最值？如果有，求出最值，如果沒有，說出理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設奇函數f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1．當x∈[-1，1]時，函數f（x）≤t2-2at+1，對一切a∈[-1，1]恒成立，則實數t的取值范圍為（　�。�

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