設函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x≠0時,xf(x)<0,f(1)=-2
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)試問:在-2≤x≤2時,f(x)是否有最大值?如果有,求出最大值,如果沒有,說明理由.
(3)解關于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)>
1
2
f(b2x)-f(b)
分析:(1)設x=y=0可求得f(0)=0.設y=-x,化簡可得f(-x)=-f(x),可得f(x)為奇函數(shù).
(2)由xf(x)<0,可得當x>0時,f(x)<0.任取x1<x2,則x2-x1>0,根據(jù) f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),可得f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,f(x)為減函數(shù).由此可得函數(shù)在[-2,2]上的最大值和最小值.
(3)由題設可知
1
2
f(bx)+f(b)>
1
2
f(b2x)+f(x)
,可化為f(bx+b+b)>f(b2x+x+x).再根據(jù)f(x)在R上為減函數(shù),可得(b2-b+2)x>2b,再根據(jù)b2-b+2>0,求得不等式的解集.
解答:解:(1)由于函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),設x=y=0可求得f(0)=0.
設y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).
(2)由xf(x)<0,可得當x>0時,f(x)<0.
任取x1<x2,則x2-x1>0,根據(jù) f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),可得f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
所以f(x)為減函數(shù).
故在-2≤x≤2時,函數(shù)最大值為f(-2),最小值為f(2),且f(-2)=-2f(1)=4,f(2)=f(1)=-4,
所以函數(shù)最大值為4,函數(shù)最小值為-4.
(3)由題設可知
1
2
f(bx)+f(b)>
1
2
f(b2x)+f(x)
,即
1
2
f(bx)+
1
2
f(b)+
1
2
f(b)>
1
2
f(b2x)+
1
2
f(x)+
1
2
f(x)
,
可化為
1
2
f(bx+b+b)>
1
2
f(b2x+x+x)
,即f(bx+b+b)>f(b2x+x+x).
∵f(x)在R上為減函數(shù),∴bx+b+b<b2x+x+x,(b2-b+2)x>2b,又 b2-b+2>0,∴x>
2b
(b2-b+2)
,
故不等式的解集為{x|x>
2b
(b2-b+2)
}.
點評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(1)證明f(x)為奇函數(shù).
(2)證明f(x)在R上是減函數(shù).
(3)若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求x的取值范圍.

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1
f(x)
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設函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x≠0時,xf(x)<0,f(1)=-2
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)試問:在-n≤x≤n時(n∈N*),f(x)是否有最大值?如果有,求出最大值,如果沒有,說明理由.
(3)解關于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b),(b>0)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)求證f(x)是奇函數(shù);
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

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