【題目】已知函數(shù)f(x)=x4﹣2x3 , g(x)=﹣4x2+4x﹣2,x∈R.
(1)求f(x)的最小值;
(2)證明:f(x)>g(x).
【答案】
(1)解: f′(x)=4x3﹣6x2=2x2(2x﹣3),
令f′(x)>0,解得:x> ,令f′(x)≤0,解得:x≤ ,
故f(x)在(﹣∞, )遞減,在( ,+∞)遞增,
故f(x)min=f( )= ﹣2× =﹣
(2)證明:令F(x)=f(x)﹣g(x)=x4﹣2x3+4x2﹣4x+2,x∈R.
則F′(x)=4x3﹣6x2+8x﹣4.
∴F″(x)=12x2﹣12x+8=12 +5>0.
∴函數(shù)F′(x)在R上單調(diào)遞增,∴函數(shù)F′(x)在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn).
又F′(0)=﹣4<0,F(xiàn)′(1)=2>0,
∴函數(shù)F′(x)在R上存在一個(gè)零點(diǎn)x0∈(0,1).
∴2 ﹣3 +4x0﹣2=0.
∴函數(shù)F(x)在(﹣∞,x0)上單調(diào)遞減;在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴F(x)min=F(x0)= ﹣2 + ﹣4x0+2= (2 ﹣3 +4x0﹣2)+ ﹣2x0+
= + >0,
∴f(x)>g(x)
【解析】(1)f′(x)=4x3﹣6x2=2x2(2x﹣3),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出.(2)令F(x)=f(x)﹣g(x)=x4﹣2x3+4x2﹣4x+2,x∈R.可得F′(x)=4x3﹣6x2+8x﹣4.由于F″(x)=12x2﹣12x+8>0.可得函數(shù)F′(x)在R上單調(diào)遞增,函數(shù)F′(x)在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn).又F′(0)=﹣4<0,F(xiàn)′(1)=2>0,可得函數(shù)F′(x)在R上存在一個(gè)零點(diǎn)x0∈(0,1).只要證明F(x)min=F(x0)>0,即可得出.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A是圓C:x2+y2+ax+4y+10=0上任意一點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于直線x+2y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.10
B.-10
C.-4
D.4
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓 ,直線 .
(1)若直線 與圓 交于不同的兩點(diǎn) ,當(dāng) 時(shí),求 的值;
(2)若 是直線 上的動(dòng)點(diǎn),過 作圓 的兩條切線 ,切點(diǎn)為 ,探究:直線 是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)則求出該定點(diǎn),若不存在則說明理由;
(3)若 為圓 的兩條相互垂直的弦,垂足為 ,求四邊形 的面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)y=(m+6)x2+2(m﹣1)x+m+1恒有零點(diǎn).
(1)求m的范圍;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn),且其倒數(shù)之和為﹣4,求m的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知i是虛數(shù)單位,a,b∈R,z1=a﹣1+(3﹣a)i,z2=b+(2b﹣1)i,z1=z2 .
(1)求a,b的值;
(2)若z=m﹣2+(1﹣m)i,m∈R,求證:|z+a+bi|≥ .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形 中, , , , 為線段 的中點(diǎn),將 沿 折起,使平面 平面 ,得到幾何體 .
(1)若 分別為線段 的中點(diǎn),求證: 平面 ;
(2)求證: 平面 ;
(3)求 的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx﹣1.
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求證:ln < (n∈N*).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ ﹣3lnx(a∈R).
(1)若x=3是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求a值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=﹣2時(shí),求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,三角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其滿足(a﹣3b)cosC=c(3cosB﹣cosA),AF=2FC,則 的取值范圍為 .
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com