Question

已知Z=

2

x2

+

2y

x

+7，若x²+y²=2，求Z的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由x²+y²=2，令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，θ∈[0，2π），且θ≠

π

2

，

3π

2

．則Z=

1

cos2θ

+

2sinθ

cosθ

+7=f（θ），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：由x²+y²=2，令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，θ∈[0，2π），且θ≠

π

2

，

3π

2

．
則Z=

1

cos2θ

+

2sinθ

cosθ

+7=f（θ），
f′（θ）=

2sinθ

cos3θ

+

2

cos2θ

=

2sin(θ+ π 4 )

cos3θ

，
令f′（θ）=0，解得θ=

3π

4

或

7π

4

．
當(dāng)0≤θ＜

3π

4

時，sin(θ+

π

4

)＞0，此時函數(shù)f（θ）單調(diào)遞增；當(dāng)

3π

4

＜θ＜

7π

4

時，sin(θ+

π

4

)＜0，此時函數(shù)f（θ）單調(diào)遞減；當(dāng)

7π

4

＜θ＜2π時，sin(θ+

π

4

)＞0，此時函數(shù)f（θ）單調(diào)遞增．
而f（0）=8，f（

7π

4

）=9-

2

．
∴Z的最小值為：9-

2

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、三角函數(shù)代換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．