Question

若{an}為等比數列，公比為q，則數列{

1

an

}，{a_n²}，{

an

}（a_n＞0），{lga_n}（a_n＞0），{2 an}，哪些是等比數列？如果是，公比是多少？

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：由數列{a_n}是等比數列，得其通項公式，再分別得到數列{

1

an

}，{a_n²}，{

an

}（a_n＞0），{lga_n}（a_n＞0），{2 an}的通項公式，然后利用等比數列的定義加以判斷．

解答： 解：若數列{a_n}是等比數列，且首項為a₁，公比為q，
則

1

an

=

1

a1

•(

1

q

)n-1，這是一個以

1

a1

為首項，以

1

q

為公比的等比數列；
a_n=a₁•q^n-1，則an2=a₁²•q^2（n-1），這是一個以a₁²為首項，以q²為公比的等比數列；
由a_n＞0，得

an+1

an

=

an+1 an

=

a1•qn a1•qn-1

=

q

，
∴{

an

}（a_n＞0）是以

a1

為首項，以

q

為公比的等比數列；
由a_n＞0，得

lgan+1

lgan

=

lg(a1•qn)

lg(a1•qn-1)

=

lga1+nlgq

lga1+(n-1)lgq

不是常數，
∴數列{lga_n}（a_n＞0）不是等比數列；
由

2an+1

2an

=2an+1-an=2a1qn-1(q-1)不是常數，
∴數列{2 an}不是等比數列．

點評：本題考查了等比數列的定義，考查了等比數列的通項公式，考查了有理指數冪的運算性質與對數的運算性質，是中檔題．