Question

【題目】已知函數f（x）=x+ +3，x∈N* ， 在x=5時取到最小值，則實數a的所有取值的集合為 ．

Answer 1

【答案】[20，30]
【解析】解：∵f（x）=x+ +3，x∈N* ，
∴f′（x）=1﹣ = ，
當a≤0時，f′（x）≥0，函數f（x）為增函數，最小值為f（x）min=f（1）=4+a，不滿足題意，
當a＞0時，令f′（x）=0，解得x= ，
當0＜x＜ 時，即f′（x）＜0，函數單調遞減，
當x＞ 時，即f′（x）＞0，函數單調遞增，
∴當x= 時取最小值，
∵x∈N* ，
∴x取離 最近的正整數使f（x）達到最小，
∵x=5時取到最小值，
∴5＜ ＜6，或4＜ ≤5
∴f（5）≤f（6）且f（4）≥f（5），
∴4+ +3≥5+ +3且5+ +3≤6+ +3
解得20≤a≤30
所以答案是：[20，30]
【考點精析】利用函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種．