已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn),求證: .

(1)(2)詳見解析.

解析試題分析：(1)可利用待定系數(shù)法設(shè)拋物線方程為求解；
(2)因?yàn)槭侵本�與圓錐曲線的相交問，可以設(shè)直線方程（斜率不存在時(shí)單獨(dú)討論），然后聯(lián)立拋物線方程和直線方程運(yùn)用韋達(dá)定理結(jié)合條件來求解.
試題解析：解：(1)由題設(shè)拋物線的方程為：，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為，2分
∵，∴，4分
∴，∴，∴.6分
(2)設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，
法一：因?yàn)橹本�當(dāng)的斜率不為0，設(shè)直線當(dāng)的方程為
方程組得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6c/2/5apdd.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
=0，
所以.
法二：①當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)
即有所以.       8分
當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為
方程組得
所以10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6c/2/5apdd.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
所以.
由①②得.12分
考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)．

(1)求拋物線C的方程；
(2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．若直線AO、BO分別交直線l：y＝x－2于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(12,8)，N點(diǎn)在拋物線C上，且滿足＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求拋物線C的方程；
(2)以M點(diǎn)為起點(diǎn)的任意兩條射線l1，l2的斜率乘積為1，并且l1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，l2與拋物線C交于D，E兩點(diǎn)，線段AB，DE的中點(diǎn)分別為G，H兩點(diǎn)．求證：直線GH過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若所在的直線方程為，求的長；
（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)，且，當(dāng)中點(diǎn)恰為點(diǎn)時(shí)，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,是橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓的離心率為,右準(zhǔn)線的方程為.

（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)是橢圓上異于的一點(diǎn),直線交于點(diǎn),以為直徑的圓記為. ①若恰好是橢圓的上頂點(diǎn),求截直線所得的弦長；
②設(shè)與直線交于點(diǎn),試證明:直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是直角三角PAF的外接圓圓心，求橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知?jiǎng)又本�與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且△的面積=，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）證明和均為定值；
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), 點(diǎn)在橢圓上上.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（Ⅱ）設(shè)直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點(diǎn),點(diǎn)到的距離之積恒為1?若存在,請求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為原點(diǎn).
（1）如圖1，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，求點(diǎn)到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案