如圖所示,在正方體中,E 是的中點

(1)求直線 BE 和平面所成的角的正弦值,
(2)在上是否存在一點 F,使從平面?證明你的結(jié)論.
(1) (2)存在,見解析
(1)如圖(a),取AA1的中點M,連接EM,BM,因為E是DD1的中點,四邊形ADD1A1為正方形,所以EM∥AD.
又在正方體ABCD-A1B1C1D1中.AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥面ABB1A1,從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影,
∠EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角.
設(shè)正方體的棱長為2,則EM=AD=2,BE==3,
于是在Rt△BEM中,sin∠EBM
即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為
(2)在棱C1D1上存在點F,使B1F平面A1BE,
事實上,如圖(b)所示,分別取C1D1和CD的中點F,G,連接EG,BG,CD1,F(xiàn)G,
因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形,
因此D1C∥A1B,又E,G分別為D1D,CD的中點,所以EG∥D1C,從而EG∥A1B,這說明A1,B,G,E共面,所以BG?A1BE
因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形,F(xiàn),G分別為C1D1和CD的中點,所以FG∥C1C∥B1G,且FG=C1C=B1B,因此四邊形B1BGF為平行四邊形,所以B1F∥BG,而B1F?平面A1BE,BG?平面A1BE,故B1F∥平面A1BE.
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