Question

已知函數(shù)f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（2x₀）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，可得 2x₀+

π

6

=kπ，k∈z．由此可得g（2x₀）=1+

1

2

sin（4x₀）
=1+

1

2

sin（2kπ-

π

3

）的值．
（2）化簡函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

）．令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范圍，可得函數(shù)h（x）的增區(qū)間，再由x∈[0，

π

4

]，進(jìn)一步確定函數(shù)h（x）的增區(qū)間．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴cos（2x₀+

π

6

）=±1，2x₀+

π

6

=kπ，k∈z．
故 g（2x₀）=1+

1

2

sin（4x₀）=1+

1

2

sin（2kπ-

π

3

）=1+

1

2

•sin（-

π

3

）=1+

1

2

×（-

3

2

）=1-

3

4

．
（2）化簡函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

•

3

2

cos2x-

1

2

•

1

2

sin2x+

1

2

sin2x
=

3

2

+

1

4

sin2x+

3

4

cos2x=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

 ）．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得  kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，故函數(shù)h（x）的增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
再由x∈[0，

π

4

]，可得函數(shù)h（x）的增區(qū)間為[0，

π

12

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的增區(qū)間，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．