(2008•奉賢區(qū)一模)我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M:函數(shù)y=f(x)(x∈D),對任意x,y,
x+y
2
∈D
均滿足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]
,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立.
(1)若定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)∈M,試比較f(3)+f(5)與2f(4)大。
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-x2,求證:g(x)∈M.
(3)已知函數(shù)f(x)=log2x∈M.試?yán)么私Y(jié)論解決下列問題:若實(shí)數(shù)m、n滿足2m+2n=1,求m+n的最大值.
分析:(1)根據(jù)對任意x,y,
x+y
2
∈D
均滿足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]
可得
f(3)+f(5)
2
≤f(
3+5
2
)
,化簡可得結(jié)論;
(2)任取x,y∈R,然后計(jì)算g(
x+y
2
)-
1
2
[g(x)+g(y)]
的符號,從而判定是否滿足定義;
(3)設(shè)x=2m,y=2n,則m=log2x,n=log2y,且m+n=1,而函數(shù)f(x)=log2x滿足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]
建立關(guān)系式可求出m+n的最大值.
解答:解:(1)
f(3)+f(5)
2
≤f(
3+5
2
)
,即f(3)+f(5)≤2f(4)
但3≠5,所以f(3)+f(5)<2f(4)
(若答案寫成f(3)+f(5)≤2f(4),扣一分)                          (4分)
(2)任取x,y∈R,則g(
x+y
2
)=-(
x+y
2
)2
1
2
[g(x)+g(y)]=-
x2+y2
2
,(6分)
所以g(
x+y
2
)-
1
2
[g(x)+g(y)]=-
(x+y)2
4
+
x2+y2
2
=
x2+y2-2xy
4
≥0
,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立,則g(x)∈M.(10分)
(3)設(shè)x=2m,y=2n,則m=log2x,n=log2y.
由已知:函數(shù)f(x)=log2x滿足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]

log2
x+y
2
1
2
[log2x+log2y]
,即log2
1
2
1
2
(m+n)
,則m+n≤-2(14分)
當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即2m=2n=
1
2
,即m=n=-1時,m+n有最大值為-2.(16分)
點(diǎn)評:本題主要考查了抽象函數(shù)的性質(zhì),以及基本不等式研究函數(shù)的最值,屬于中檔題.
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.
x\~(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
.如:A=
.
2\~(-1)(3)(-2)(1)
,則表示A是一個2進(jìn)制形式的數(shù),且A=-1+3×2+(-2)×22+1×23=5.
(1)已知m=(1-2x)(1+3x2)(其中x≠0)),試將m表示成x進(jìn)制的簡記形式.
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=2,ak+1=
1
1-ak
,k∈N*
bn=
.
2\~(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
(n∈N*).求證:bn=
2
7
8n-
2
7

(3)若常數(shù)t滿足t≠0且t>-1,dn=
.
t\~(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
,求
lim
n→∞
dn
dn+1

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