Question

設(shè)f（x）=

1

3

x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中a∈R．
1）若曲線y=f（x）過p（3，f（3））處的切線與直線y=x平行，求a的值；
2）若當(dāng)x≥0，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用直線平行斜率相等求出切線的斜率，再利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是曲線的切線斜率求出切線斜率，列出方程即得；
（2）由于x≥0，f（x）＞0恒成立，則f（0）=24a＞0，即a＞0，再分類討論，求出函數(shù)的最小值，利用當(dāng)x≥0，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意可知：f'（x）=x²-2（1+a）x+4a，則k=f'（3）=1，
解得：a=1；
（2）由于x≥0，f（x）＞0恒成立，則f（0）=24a＞0，即a＞0
由于f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），則
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在x=2a處取得極大值，在x=2處取得極小值，
則當(dāng)x≥0時(shí)，minf(x)=f(2)=28a-

4

3

＞0，解得：a＞

1

21

；　　　
②當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）=24＞0，
∴f（x）≥f（0）＞0恒成立；
③當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在x=2處取得極大值，在x=2a處取得極小值，
則當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）_min=f（2a）=-

4

3

a³+4a²+24a＞0，解得：-3＜a＜6．
綜上所述，a的取值范圍是

1

21

＜a＜6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)，求最值是關(guān)鍵．