Question

已知AB是拋物線y²=2Px的任意一條焦點弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求證y₁y₂=-p²，x₁x₂=

p2

4

；
（2）若弦AB被焦點分成長為m，n的兩部分，求證：

1

m

+

1

n

=

2

p

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標，根據(jù)點斜式設(shè)出焦點弦的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達定理可求得y₁y₂同理可求得x₁x₂原式得證．
（2）假設(shè)直線斜率存在，則可設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y可求得x₁+x₂，再根據(jù)拋物線的定義可求得m+n和mn，進而可求得

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

2

p

．再看當斜率不存在時，也符合．綜合可推斷

1

m

+

1

n

=

2

p

．

解答：證明（1）：因為拋物線y²=2px的焦點為（

p

2

，0）所以過焦點的弦為y=k（x-

p

2

），即x=

y

k

+

p

2

與y²=2px聯(lián)立有：y²-

2py

k

-p²=0，所以y₁y₂=-p²
同理可得x₁x₂=

p2

4

當直線斜率不存在時，結(jié)論也成立．
原式得證．
（2）：①設(shè)AB：y=k（x-

p

2

），直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0．
∴x₁+x₂=

k2p+2p

k2

．
又由拋物線定義可得
m+n=x₁+x₂+p=

2k2p+2p

k2

=

2p(k2+1)

k2

，
m•n=（x₁+

p

2

）（x₂+

p

2

）=

p 2(k2+1)

k2

，
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

2

p

．
②若k不存在，則AB方程為x=-

p

2

，顯然符合本題．
綜合①②有

1

m

+

1

n

=

2

p

．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系．當遇到拋物線焦點弦問題時，常根據(jù)焦點設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，把韋達定理和拋物線定義相結(jié)合解決問題．