已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點F是拋物線的焦點，則有
1
|AF|
+
1
|BF|
=
4
a
4
a
．
分析：由題意利用拋物線的定義可得|AF|=x1+
a
4
，|BF|=x2+
a
4
．把AB的方程y-0=k（x-
a
4
）代入拋物線y2=ax（a＞0）可得 k2x2-
3a
2
x-
k2•a2
16
=0，
可得 x1•x2=
a2
16
．化簡 
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1
x1+
a
4
+
1
x2+
a
4
，求得結果．
解答：解：由題意利用拋物線的定義可得|AF|=x1+
a
4
，|BF|=x2+
a
4
．
把AB的方程y-0=k（x-
a
4
）代入拋物線y2=ax（a＞0）可得 k2x2-
3a
2
x-
k2•a2
16
=0，∴x1•x2=
a2
16
．
∴
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1
x1+
a
4
+
1
x2+
a
4
=
x1+x2+
a
2
(x1+
a
4
)(x2+
a
4
)
=
x1+x2+
a
2
x1• x2+
a
4
(x1+x2)+
a2
16
=
x1+x2+
a
2
a
4
(x1+x2)+
a2
8

=
x1+x2+
a
2
a
4
(x1+x2+
a
2
)
=
4
a
，
故答案為
4
a
．
點評：本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點F是拋物線的焦點，則有x1x2=
a2
16
a2
16
，y1y2=
-
a2
4
-
a2
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點F是拋物線的焦點，則|AB|=
a
sin2θ
a
sin2θ
（θ為直線AB的傾斜角）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點F是拋物線的焦點，則有S△AOB=
a2
8sinθ
a2
8sinθ
（θ為直線AB的傾斜角）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知AB是拋物線y2=2Px的任意一條焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求證y1y2=-p2，x1x2=
p2
4
；
（2）若弦AB被焦點分成長為m，n的兩部分，求證：
1
m
+
1
n
=
2
p
．

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