Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，且f（x+1）為偶函數(shù)，定義：滿足f（x）=x的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)f（x）的“不動點(diǎn)”，若函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)不動點(diǎn)，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²在 （0，

6

3

]上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b為偶函數(shù)，得出a，b的一個(gè)關(guān)系式，再由函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)不動點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程f（x）=x有且僅有一個(gè)解，即可求得a值，從而寫出f（x）的解析式；
（2）由于g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²=x+

k

x

在（0，

6

3

]上是單調(diào)減函數(shù)，分類討論：當(dāng)k≤0時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）先利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到：f（x）在區(qū)間[m，n]上是單調(diào)增函數(shù)，列出關(guān)于m，n的方程式：

f(m)=km f(n)=kn

，此式說明方程-

1

2

x2+x=kx的兩根為0，2-2k結(jié)合方程思想即可解決．

解答：解：（1）f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b為偶函數(shù)，
∴2a+b=0，∴b=-2a，
∴f（x）=ax²-2ax，（2分）
∵函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)不動點(diǎn)，
∴方程f（x）=x有且僅有一個(gè)解，
∴ax²-（2a+1）x=0有且僅有一個(gè)解，
∴2a+1=0，a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x²+x（5分）
（2）g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²=x+

k

x

在（0，

6

3

]上是單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)k≤0時(shí)，g（x）=x+

k

x

在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴不成立；（7分）
當(dāng)k＞0時(shí)，g（x）=x+

k

x

在（0，

k

]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴

6

3

≤

k

，
∴k≥

2

3

（10分）
（3）∵f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
∴kn≤

1

2

，
∴n≤

1

2k

≤

3

4

＜1，
∴f（x）在區(qū)間[m，n]上是單調(diào)增函數(shù)（11分）
∴

f(m)=km f(n)=kn

，即

- 1 2 m2+m=km - 1 2 n2+n=kn

，
方程-

1

2

x2+x=kx的兩根為0，2-2k（12分）
當(dāng)2-2k＞0，即

2

3

≤k＜1時(shí)，[m，n]=[0，2-2k]（13分）
當(dāng)2-2k＜0，即k＞1時(shí)，[m，n]=[2-2k，0]（14分）
當(dāng)2-2k=0，即k=1時(shí)，[m，n]不存在（16分）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)解析式的求解及常用方法、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、函數(shù)的值域等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．