Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=2^2x-7-a^4x-1（a＞0且a≠1）．
（1）當(dāng)a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)不等式，利用指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式，求解即可．
（2）利用函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式組，求解即可．

解答 解：（1）由于$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}={2^{-\frac{1}{2}}}$，于是不等式f（x）＜0即為${2^{2x-7}}＜{2^{-\frac{1}{2}（{4x-1}）}}$，…（2分）
所以$2x-7＜-\frac{1}{2}（{4x-1}）$，解得$x＜\frac{15}{8}$．…（4分）
即原不等式的解集為$（{-∞\;\;，\;\;\frac{15}{8}}）$．…（5分）
（2）由${2^{2x-7}}＜{a^{4x-1}}⇒（{2x-7}）lg2＜（{4x-1}）lga⇒x•lg\frac{4}{a^4}+lg\frac{a}{128}＜0$．…（7分）
設(shè)$f（x）=x•lg\frac{4}{a^4}+lg\frac{a}{128}$，則f（x）為一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，由x∈[0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立得：$\left\{\begin{array}{l}f（1）＜0\\ f（0）＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}lg\frac{4}{a^4}+lg\frac{a}{128}＜0\\ lg\frac{a}{128}＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}lg\frac{1}{{32{a^3}}}＜0\\ 0＜a＜128\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}32{a^3}＞1\\ 0＜a＜128\end{array}\right.⇒\frac{{\root{3}{2}}}{4}＜a＜128$，
又a＞0且a≠1，
∴$a∈（{\frac{{\root{3}{2}}}{4}\;\;，\;\;1}）∪（{1\;\;，\;\;128}）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，指數(shù)不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．