【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),

(I)若,函數(shù)

①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

②若函數(shù)的值域為,求實數(shù)的取值范圍

(II)若存在實數(shù),使得,且,求證:

【答案】(1)①詳見解析②實數(shù)的取值范圍是;(2);

【解析】試題分析:(1)①求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

求出函數(shù)的導數(shù),通過討論m的范圍得到函數(shù)的值域,從而確定m的具體范圍即可;

(2)求出函數(shù)f(x)的導數(shù),得到a0且f(x)在(﹣∞,]遞減,在[,+∞)遞增,設,則有,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關于m的不等式組,解出即可.

試題解析:

(1)當時, .

.

,由.

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

時, ,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減;

時, ,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.

上單調(diào)遞減,值域為,

因為的值域為,所以,

.

由①可知當時, ,故不成立.

因為上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且

所以當時, 恒成立,因此.

時, 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)上的值域為,即.

上單調(diào)遞減,值域為.

因為的值域為,所以,即.

綜合1°,2°可知,實數(shù)的取值范圍是.

(2).

時, ,此時上單調(diào)遞增.

可得,與相矛盾,

同樣不能有.

不妨設,則有.

因為上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,

所以當時, .

,且,可得

.

單調(diào)遞減,且,所以,

所以,同理.

解得,

所以.

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