Question

函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+3，若函數(shù)g（x）=f（x）-m在x∈[-2，5]上有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為

1. A.
   （-24，8）
2. B.
   （-24，1]
3. C.
   [1，8]
4. D.
   [1，8）

Answer 1

D
分析：函數(shù)g（x）=f（x）-m在x∈[-2，5]上有3個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+3，與y=m兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故求出函數(shù)的單調(diào)性與極值，對(duì)研究出函數(shù)的圖象的特征，由圖象求出m的取值范圍即可
解答：解：函數(shù)g（x）=f（x）-m在x∈[-2，5]上有3個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+3，與y=m兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，下研究函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+3的性質(zhì)
由題意f'（x）=3x²-6x-9
令f'（x）=3x²-6x-9＞0解得x＞3或x＜-1
又x∈[-2，5]
故f（x）=x³-3x²-9x+3在（-2，-1）與（3，5）上是增函數(shù)，在（-1，3）上是減函數(shù)，
x=-2，-1，3，5時(shí)，函數(shù)值對(duì)應(yīng)為1，8，-24，8
其圖象如圖，可得1≤m＜8
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，正確解答本題，關(guān)鍵是將函數(shù)有零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)的問(wèn)題，此轉(zhuǎn)化的好處是轉(zhuǎn)化后的兩個(gè)函數(shù)的中有一個(gè)函數(shù)是確定的，實(shí)現(xiàn)了由不定到定的轉(zhuǎn)化變，方便了研究問(wèn)題，即求參數(shù)的范圍．熟練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性也是解本題的關(guān)鍵，