對于函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+1的極值情況,4位同學(xué)有下列說法:甲:該函數(shù)必有2個(gè)極值;乙:該函數(shù)的極大值必大于1;丙:該函數(shù)的極小值必小于1;。悍匠蘤(x)=0一定有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. 這四種說法中,正確的個(gè)數(shù)是( 。
分析:f′(x)=3x2+2ax-1,顯然,判別式(2a)2-4×3×(-1)=4a2+12>0,故f′(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1,x2,且一正一負(fù),不妨設(shè)0<x1<x2.f(x)=x3+ax2-x+1圖象必過點(diǎn)(0,1),函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+1在(-∞,x1)上遞增,(x1,x2)上遞減,(x2,+∞)上遞增,可畫出函數(shù)的圖象,可得答案.
解答:解:f(x)=x3+ax2-x+1,則f′(x)=3x2+2ax-1,顯然,判別式(2a)2-4×3×(-1)=4a2+12>0,
故f′(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1,x2,且一正一負(fù),不妨設(shè)x1<0<x2.又f(x)=x3+ax2-x+1圖象必過點(diǎn)(0,1)
二次函數(shù)f′(x)=3x2+2ax-1,開口向上,且在(-∞,x1)上為正,(x1,x2)上為負(fù),(x2,+∞)上為正,
即函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+1在(-∞,x1)上遞增,(x1,x2)上遞減,(x2,+∞)上遞增.
由極值的定義可知:函數(shù)f(x)必有兩個(gè)極值點(diǎn),且x=x1處是極大值點(diǎn),x=x2處是極小值點(diǎn).
由以上性質(zhì)作函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+1的圖象

由圖1,圖2可知:甲正確;乙正確;丙正確;丁不正確.
故選C.
點(diǎn)評:本題為函數(shù)極值的問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),進(jìn)而得出函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對于一切實(shí)數(shù)x滿足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]時(shí),f(x)=(x-2)2,求當(dāng)x∈[16,20]時(shí),函數(shù)g(x)=2x-f(x)的表達(dá)式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,記f(x)=0在區(qū)間[-1000,1000]上的根數(shù)為N,求N的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,若存在非零實(shí)數(shù)t,使得對于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),則稱f(x)為C上的t低調(diào)函數(shù).如果定義域?yàn)閇0,+∞)的函數(shù)f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)為[0,+∞)上的10低調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A、[-5,5]
B、[-
5
,
5
]
C、[-
10
,
10
]
D、[-
5
2
,
5
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1,x2(x1≠x2)有如下結(jié)論
①f(x1+x2)=f(x1)•f(x2);
②f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0

f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2

當(dāng)f(x)=(
1
2
)x
時(shí),上述結(jié)論中正確的序號是( 。
A、①②B、①④C、②③D、③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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