Question

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑． 如圖，在陽(yáng)馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E為PC中點(diǎn)，點(diǎn)F在PB上，且PB⊥平面DEF，連接BD，BE．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）已知AD=2， ，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因?yàn)镻D⊥面ABCD，BC面ABCD，所以BC⊥PD．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，
所以BC⊥DC．PD∩DC=D，
所以BC⊥面PDC．DE面PDC，DE⊥BC，
在△PDC中，PD=DC，E為PC中點(diǎn)，
所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，
所以DE⊥面PBC．
解：（Ⅱ）四面體DBEF是鱉臑，
其中 ， ．
（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則D（0，0，0），A（2，0，0）， ， ， ．
設(shè) ，則 ．DF⊥PB得 ，解得 ．
所以 ．
設(shè)平面FDA的法向量 ，
則 ，令z=1得x=0，y=﹣3．
平面FDA的法向量 ，
平面BDA的法向量 ，
， ．
二面角F﹣AD﹣B的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥PD．BC⊥DC，從而B(niǎo)C⊥面PDC，進(jìn)而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能證明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面體DBEF是鱉臑， ， ．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線(xiàn)與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．