Question

對于下列命題：
①函數(shù)f（x）=ax+1-2a在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點的充分不必要條件是

1

2

＜a＜

2

3

；
②已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的充分不必要條件；
③“a＜2”是“對任意的實數(shù)x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要條件；
④“0＜m＜1”是“方程mx²+（m-1）y²=1表示雙曲線”的充分必要條件．其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①利用函數(shù)f（x）=ax+1-2a在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點的充要條件是f（0）f（1）＜0，解得即可判斷出；
②若甲正確，則EF與GH為異面直線，可得直線EF和GH不相交，即乙正確；
若乙正確，即直線EF和GH不相交，則可能EF∥GH，可得E，F(xiàn)，G，H四點共面，即甲不一定正確．
③由“對任意的實數(shù)x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”，利用絕對值的幾何意義可得a≤（|x+1|+|x-1|）_min=2；
④“方程mx²+（m-1）y²=1表示雙曲線”的充分必要條件是m（m-1）＜0，解得即可．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=ax+1-2a在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點的充要條件是f（0）f（1）=（1-2a）（1-a）＜0，
解得

1

2

＜a＜1．因此

1

2

＜a＜

2

3

是函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)由零點的充分不必要條件；
②已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，
若甲正確，則EF與GH為異面直線，因此直線EF和GH不相交，即乙正確；
若乙正確，即直線EF和GH不相交，則可能EF∥GH，可知E，F(xiàn)，G，H四點共面，即甲不一定正確．
由以上可知：甲是乙成立的充分不必要條件，正確；
③由“對任意的實數(shù)x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”，
則a≤（|x+1|+|x-1|）_min=2，
因此“a≤2”是“對任意的實數(shù)x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要條件，故③不正確；
④“方程mx²+（m-1）y²=1表示雙曲線”的充分必要條件是m（m-1）＜0，解得0＜m＜1．
因此“0＜m＜1”是“方程mx²+（m-1）y²=1表示雙曲線”的充分必要條件，正確．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了函數(shù)零點判定定理、空間直線位置關(guān)系、絕對值的幾何意義、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．