Question

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，|BC|=2|AC|．
（I）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；
（II）如果橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：存在實數(shù)λ，使．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)長軸求得a，點(diǎn)A是長軸的一個頂點(diǎn)可求得A的坐標(biāo)．根據(jù) 判斷△AOC是等腰直角三角形，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)代入橢圓的方程求得b，最后可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線PC的方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后根據(jù)△＞0判斷k的范圍．設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）由韋達(dá)定理可求得x₁和y₁關(guān)于k的表達(dá)式，直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形推斷直線CP、CQ的斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而得到k的范圍，同樣的設(shè)點(diǎn)Q（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₂和y₂關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)橢圓是中心對稱圖形求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù) 關(guān)系得證．
解答：解：（I）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為X軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（2，0），則橢圓方程為…2′
∵O為橢圓中心，∴由對稱性知|OC|=|OB|
又∵，∴AC⊥BC
又∵|BC|=2|AC|∴|OC|=|AC|
∴△AOC為等腰直角三角形
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1）∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-1）…4
將C的坐標(biāo)（1，1）代入橢圓方程得，
則求得橢圓方程為…6′
（II）由于∠PCQ的平分線垂直于OA（即垂直于x軸），不妨設(shè)PC的斜率為k，則QC的斜率為-k，因此PC、QC的直線方程分別為y=k（x-1）+1，y=-k（x-1）+1
由得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0*）…8′
∵點(diǎn)C（1，1）在橢圓上，
∴x=1是方程（*）的一個根，∴x_P•1=即x_P=
同理x_Q=…9′
∴直線PQ的斜率為（定值）…11′
又∠ACB的平分線也垂直于OA
∴直線PQ與AB的斜率相等（∵k_AB=）
∴向量，即總存在實數(shù)λ，使成立．…12′
點(diǎn)評：本題以向量為載體，主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和平面向量的知識．能考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的能力．