Question

19、設(shè)平面內(nèi)有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，設(shè)k條直線的交點個數(shù)為f（k），則 f（k+1）與f（k）的關(guān)系是

f（k）+k=f（k+1）．

Answer 1

分析：由于第k+1條直線與前面k條直線都有交點，從而可知當n=k+1時交點個數(shù)與當n=k+1時交點個數(shù)的關(guān)系．

解答：解：當n=k+1時，任取其中1條直線，記為l，則除l外的其他k條直線的交點的個數(shù)為f（k），
因為已知任何兩條直線不平行，所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交（有k個交點）；
又因為已知任何三條直線不過同一點，所以上面的k個交點兩兩不相同，
且與平面內(nèi)其他的f（k）個交點也兩兩不相同，從而平面內(nèi)交點的個數(shù)是f（k）+k=f（k+1）．
故填：f（k）+k=f（k+1）

點評：本題主要考查數(shù)學歸納法，數(shù)學歸納法的基本形式：
設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立