Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的積為定值．
（1）試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+1與曲線(xiàn)C交于M．N兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用動(dòng)點(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的積為定值，建立方程，化簡(jiǎn)可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C．
（Ⅱ）直線(xiàn)l：y=kx+1與曲線(xiàn)C方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算弦長(zhǎng)，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），由題意得：k_PAk_PB=
∴，化簡(jiǎn)，整理得
故P點(diǎn)的軌跡方程是，（x≠±）
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=，x₁ x₂=
|AB|=，
整理得，7k⁴-2k²-5=0，解得k²=1，或k²=-（舍）
∴k=±1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
∴直線(xiàn)l的方程是y=±x+1，即：x-y+1=0或x+y-1=0
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．