Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率的積為定值-

1

2

．
（Ⅰ）試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，
①當(dāng)|MN|=

4 2

3

時(shí)，求直線l的方程．
②線段MN上有一點(diǎn)Q，滿足

MQ

=

1

2

MN

，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，結(jié)合題意建立關(guān)于點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)的關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；
（II）由（I）求出的軌跡方程與直線y=kx+1消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程．
①解所得的一元二次方程，得到x₁、x₂關(guān)于k的式子，根據(jù)弦長(zhǎng)公式列方程解出k=±1，從而得到直線l的方程；
②由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，算出Q坐標(biāo)關(guān)于x₁、x₂和y₁、y₂的形式，代入直線方程并結(jié)合

MQ

=

1

2

MN

進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，可得x²+2y²-2y=0．再由直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，可得△＞0，得k≠0從而得到x的取值范圍，即可給出點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則根據(jù)題意，有

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，整理得

x2

2

+y2=1．由于x≠±

2

，
所以求得的曲線C的方程為

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+1.

消去y得：(1+2k2)x2+4kx=0．
①解得x₁=0，x₂=

-4k

1+2k2

．
由|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

|

4k

1+2k2

|=

4

3

2

，解得：k=±1．
∴直線l的方程x-y+1=0或x+y-1=0；
②設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），
∵

MQ

=

1

2

MN

，
∴點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)，可得x=

x1+x2

2

=

-2k

1+2k2

，
∴y=kx+1=k•

-2k

1+2k2

+1=

1

1+2k2

，
消去k，得方程：x²+2y²-2y=0．
因曲線C的方程為

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)，故直線不過(guò)點(diǎn)(±

2

，0)，即k≠±

2

2

又∵直線l：y=kx+1與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，
∴△=（-4k）²＞0，即k≠0，
因此，x≠0，且x≠±

2

2

，
綜上，所求點(diǎn)Q的軌跡方程為x2+2y2-2y=0(x≠0，且x≠±

2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線的斜率公式、直線與圓錐曲線的關(guān)系和一元二次方程根的判別式等知識(shí)，屬于中檔題．