(2013•金華模擬)己知等差數(shù)列{an},公差d>0,前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a2a3=45,a1+a4=14.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前,n項(xiàng)和Sn;
(II)設(shè)bn=
Sn
n+c
,若數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列,試確定非零常數(shù)c;并求數(shù)列{
1
bnbn+1
}
的前n項(xiàng)和Tn
分析:(Ⅰ)由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得a2+a3=a1+a4=14,進(jìn)而解得a2,a3,即可得到a1,d,利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可得出;
(Ⅱ)由數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,則2b2=b1+b3,得出c,從而得出bn,再利用裂項(xiàng)求和即可得出Tn
解答:解:(Ⅰ)由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得a2+a3=a1+a4=14,又a2a3=45.
a2a3=45
a2+a3=14
,解得
a2=5
a3=9
a2=9
a3=5

∵d>0,∴
a2=9
a3=5
應(yīng)舍去,
因此
a2=5
a3=9

∴d=a3-a2=4,a1=a2-d=5-4=1,
∴an=1+(n-1)×4=4n-3,
Sn=n+
n(n-1)
2
×4
=2n2-n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=
2n2-n
n+c
,
∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,則2b2=b1+b3,即
6
2+c
=
1
1+c
+
15
3+c

解得c=-
1
2

∴bn=2n.
1
bnbn+1
=
1
2n•2(n+1)
=
1
4
(
1
n
-
1
n+1
)

∴Tn=
1
4
[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]

=
1
4
(1-
1
n+1
)

=
n
4(n+1)
點(diǎn)評:熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和是解題的關(guān)鍵.
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