在某兩個正數(shù)x，y之間，若插入一個正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列；若插入兩個正數(shù)b，c，使x，b，c，y成等差數(shù)列，求證：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．
分析：根據(jù)某兩個正數(shù)x，y之間，若插入一個正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列，得到a=
xy
，在根據(jù)插入兩個正數(shù)b，c，使x，b，c，y成等差數(shù)列，得到b=
2x+y
3
，c=
x+2y
3
，從而將原不等式轉化為關于x，y的關系式，再利用基本不等式即可
解答：解：∵x，a，y成等比數(shù)列
∴a2=xy
∵a＞1
∴a=
xy

∵x，b，c，y成等差數(shù)列
∴b-x=c-b=y-c
即b=
2x+y
3
，c=
x+2y
3

∴（b+1）（c+1）=(
2x+y
3
+1)（
x+2y
3
+1）=
2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9
9

∵x＞0，y＞0
∴
2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9
9
≥
2×(2xy)+5xy
9
+2
xy
+1= (
xy
+1)2=（a+1）2
即：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．
點評：本題考查了基本不等式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，屬于基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在某兩個正數(shù)x，y之間，若插入一個正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列，若另插入兩個數(shù)b、c，使x，b，c，y成等差數(shù)列，則關于t的一元二次方程bt2-2at+c=0(≠0)（    ）

A.有兩個相等的實根                      B.有兩個相異的實根

C.無實數(shù)根                                  D.有兩個相等實根或無實根

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科目：高中數(shù)學 來源：同步題 題型：證明題

在某兩個正數(shù)x，y之間，若插入一個數(shù)a，使x，a，y 成等差數(shù)列，若插入兩個數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列。
求證：（a+1）2≥（b+1）（c+1）。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在某兩個正數(shù)x、y之間，若插入一個正數(shù)a,使x、a、y成等比數(shù)列，若另插入兩個正數(shù)b、c,使x、b、c、y成等差數(shù)列.

求證:(a+1)2≤(b+1)(c+1).

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高三數(shù)學復習（第5章 不等式）：5.3 基本不等式（解析版） 題型：解答題

在某兩個正數(shù)x，y之間，若插入一個正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列；若插入兩個正數(shù)b，c，使x，b，c，y成等差數(shù)列，求證：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．

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