【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1（﹣2，0），點(diǎn)B（2， ）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

【答案】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為 + =1（a＞b＞0），

則c=2，a2﹣b2=c2， + =1，解得：a2=8，b2=4．

可得橢圓C的方程為 + =1；

（Ⅱ）如圖，設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），則 + =1，A（﹣2 ，0），

AF所在直線方程y= （x+2 ），

取x=0，得y= ，

∴N（0， ），

AE所在直線方程為y= （x+2 ），

取x=0，得y= ．

則以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為（0， ），

半徑r= ，

圓的方程為x2+（y﹣ ）2= = ，即x2+（y+ ）2= ．

取y=0，得x=±2．

可得以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（±2，0）．

可得在x軸上存在點(diǎn)P（±2，0），

使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角．


【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出c的值，再將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合a2﹣b2=c2，即可解出a，b，c，從而得到橢圓方程，（2）設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（±2，0），即可判斷存在點(diǎn)P.

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【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC，側(cè)棱PA=2，底面三角形ABC為正三角形，邊長為2，頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為D，有AD⊥DB，且DB=1．
（Ⅰ）求證：AC∥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；
（Ⅲ）線段PC上是否存在點(diǎn)E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求 的值；如果不存在，請說明理由．

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【題目】如圖，已知橢圓 與雙曲線 有相同的焦點(diǎn)，且橢圓 過點(diǎn) ，若直線 與直線 平行且與橢圓 相交于點(diǎn) ,B(x2,y2)．

(Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ) 求三角形 面積的最大值.

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【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC為正三角形．

（Ⅰ）證明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

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【題目】拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為L，A、B是拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足∠AFB= ．設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在L上的投影為N，則 的最大值是（　�。�
A.
B.1
C.
D.

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【題目】函數(shù)f（x）=2x2﹣mx+2當(dāng)x∈[﹣2，+∞）時是增函數(shù)，則m的取值范圍是（　�。�
A.（﹣∞，+∞）
B.[8，+∞）
C.（﹣∞，﹣8]
D.（﹣∞，8]

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【題目】如果函數(shù)f（x）對任意的實(shí)數(shù)x，都有f（1+x）=f（﹣x），且當(dāng)x≥ 時，f（x）=log2（3x﹣1），那么函數(shù)f（x）在[﹣2，0]上的最大值與最小值之和為 ．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線 （a為參數(shù)），直線l：x﹣y﹣6=0．
（1）在曲線C上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最大，并求出此最大值；
（2）過點(diǎn)M（﹣1，0）且與直線l平行的直線l1交C于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

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【題目】已知向量 =（1，2）， =（cosα，sinα），設(shè) = +t （t為實(shí)數(shù)）．
（1）若 ，求當(dāng)| |取最小值時實(shí)數(shù)t的值；
（2）若 ⊥ ，問：是否存在實(shí)數(shù)t，使得向量 ﹣ 和向量 的夾角為 ，若存在，請求出t；若不存在，請說明理由．

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