Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AC=BC=1，AB=，點D是AB的中點．
（I）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（II）求三棱錐A₁-ABC₁的體積．

Answer 1

（本小題滿分12分）
證明：（I） 設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，
∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，∴DE∥AC₁，…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．…（5分）
（II）底面三邊長AC=BC=1，AB=，∴AC⊥BC，…（7分）
∵A₁A⊥底面ABC，∴A₁A⊥BC；
而A₁A∩AC=C，∴BC⊥面AA₁C₁C，則BC為三棱錐B-A₁AC₁的高； …（9分）
∴．…（12分）
（注：若用其他方法求得，相同標準給分）
分析：（I） 設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，通過證明DE∥AC₁，利用直線與平面平行的判定定理證明AC₁∥平面CDB₁．
（II）要求三棱錐A₁-ABC₁的體積，轉(zhuǎn)化為求出底面A₁AC₁的面積，說明BC為三棱錐B-A₁AC₁的高；即可求解．
點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，棱錐的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．