如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為正三角形,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,D是BC中點,且AA1=AB
(1)證明:AD⊥BC1
(2)證明:A1C∥平面AB1D.
分析:(1)依題意,易證AD⊥平面BCC1B1,利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證得AD⊥BC1;
(2)取C1B1的中點E,連接A1E,ED,易證平面A1EC∥平面AB1D,利用面面平行的性質(zhì)即可證得A1C∥平面AB1D.
解答:證明:(1)∵ABC-A1B1C1為三棱柱,D是BC中點,AA1⊥平面ABC,AD?平面ABC,
∴AA1⊥AD;又AA1∥BB1
∴AD⊥BB1;
又底面ABC為正三角形,D是BC中點,
∴AD⊥BC,而BC∩BB1=B,
∴AD⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,
∴AD⊥BC1;
(2))取C1B1的中點E,連接A1E,ED,

則B1E
.
DC,
∴四邊形B1DCE為平行四邊形,于是有B1D∥EC,又A1E∥AD,B1D∩AD=D,A1E∩EC=E,
∴平面A1EC∥平面AB1D,A1C?平面A1EC,
∴A1C∥平面AB1D.
點評:本題考查直線與平面垂直的性質(zhì),考查面面平行的性質(zhì),(2)中證得平面A1EC1∥平面AB1D是關(guān)鍵,考查作圖、推理與證明的邏輯思維能力,屬于中檔題.
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如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,AC=BC=CC1=1,則直線A1C1和平面ACB1的距離等于
 
精英家教網(wǎng)

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(1)證明:DE⊥平面BCC1
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(2012•黑龍江)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=
12
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2
,BC′=
2
,BC=2,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,平面ABC⊥平面BCC′B′,E、F分別為棱AB、CC′的中點.
(I)求證:EF∥平面A′BC′;
(Ⅱ)若AC≤
2
,且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
7
3
,求二面角C-AA'-B的大。

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