Question

某市為了推動(dòng)全民健身運(yùn)動(dòng)在全市的廣泛開展，該市電視臺(tái)開辦了健身競(jìng)技類欄目《健身大闖關(guān)》，規(guī)定參賽者單人闖關(guān)，參賽者之間相互沒有影響，通過關(guān)卡者即可獲獎(jiǎng)．現(xiàn)有甲、乙、丙3人參加當(dāng)天的闖關(guān)比賽，已知甲獲獎(jiǎng)的概率為，乙獲獎(jiǎng)的概率為，丙獲獎(jiǎng)而甲沒有獲獎(jiǎng)的概率為．
（1）求三人中恰有一人獲獎(jiǎng)的概率；
（2）記三人中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：設(shè)甲獲獎(jiǎng)為事件A，乙獲獎(jiǎng)為事件B，丙獲獎(jiǎng)為事件C，丙獲獎(jiǎng)的概率為p，
則P（C）P（）=，即p（1-）=，∴p=．
（1）三人中恰有一人獲獎(jiǎng)的概率為：
P=P（A）P（）P（）+P（）P（B）P（）+P（）P（）P（C）
=（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）=；
（2）P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=P（A）P（）P（）+P（）P（B）P（）+P（）P（）P（C）=，
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（）+P（）P（B）P（C）+P（A）P（）P（C）=，
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=．
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．
分析：（1）設(shè)甲獲獎(jiǎng)為事件A，乙獲獎(jiǎng)為事件B，丙獲獎(jiǎng)為事件C，丙獲獎(jiǎng)的概率為p，由題意可得P（C）P（）=，從而求出p值，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得三人中恰有一人獲獎(jiǎng)的概率．
（2）由題意可得三人中獲獎(jiǎng)的人數(shù)ξ值為：0，1，2，3，再結(jié)合題中的條件與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出它們發(fā)生的概率，進(jìn)而求出ξ的數(shù)學(xué)期望．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握相互獨(dú)立事件的概率乘法公式與對(duì)立事件的定義，以及離散型隨機(jī)變量的期望，此題屬于中檔題．