Question

動圓M經過定點F（1，0），且與直線x+1=0相切．
（1）求圓心M的軌跡C方程；
（2）直線l過定點F與曲線C交于A、B兩點：
①若

AF

=2

FB

，求直線l的方程；
②若點T（t，0）始終在以AB為直徑的圓內，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意：M到點F（1，0）距離與M到直線x+1=0距離相等，利用拋物線的定義，可得圓心M的軌跡C方程；
（2））①設直線l：x=my+1，代入拋物線方程，利用韋達定理，及

AF

=2

FB

，可求直線l的方程；
②點T（t，0）始終在以AB為直徑的圓內，等價于

TA

•

TB

＜0，利用向量數量積公式，建立不等式，即可求t的取值范圍．

解答：解：（1）由題意：M到點F（1，0）距離與M到直線x+1=0距離相等，所以點M的軌跡是以F為焦點，直線x+1=0為準線的拋物線，其方程為y²=4x
（2）①設直線l：x=my+1，代入拋物線方程得：y²-4my-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，

AF

=(1-x1，-y1)，

FB

=(x2-1，y2)
由

AF

=2

FB

得-y₁=2y₂，代入y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，解得：m=±

2

4

所以所求直線方程為x=±

2

4

y+1．
②

TA

=(x1-t，y1)，

TB

=(x2-t，y2)，
由題意，點T（t，0）始終在以AB為直徑的圓內，∴

TA

•

TB

＜0
即（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂＜0，x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，化簡得：4tm²+4-（1-t）²＞0對于任意的m∈R恒成立．
1°t=0滿足；
2°t≠0，則t＞0且4-（1-t）²＞0，解得0＜t＜3．
綜上知，t的取值范圍為0≤t＜3．

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，屬于中檔題．