給定銳角三角形PBC,.設(shè)A,D分別是邊PB,PC上的點(diǎn),連接AC,BD,相交于點(diǎn)O. 過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分別為E,F,線段BC,AD的中點(diǎn)分別為M,N.(1)若A,B,C,D四點(diǎn)共圓,求證:;
(2)若 ,是否一定有A,B,C,D四點(diǎn)共圓?證明你的結(jié)論.
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(1)設(shè)Q,R分別是OB,OC的中點(diǎn),連接EQ,MQ,FR,MR,則
,
又OQMR是平行四邊形,所以
,
由題設(shè)A,B,C,D四點(diǎn)共圓,所以
,
于是 , 圖1
所以,
故 ,所以 EM=FM,同理可得 EN=FN,
所以 .
(2)答案是否定的.
當(dāng)AD∥BC時(shí),由于,所以A,B,C,D四點(diǎn)不共圓,但此時(shí)仍然有,證明如下:
如圖2所示,設(shè)S,Q分別是OA,OB的中點(diǎn),連接ES,EQ,MQ,NS,則
,
所以 . ①
又,所以
. ②
而AD∥BC,所以
, ③
由①,②,③得 .
因?yàn)?nbsp; ,
,
即 ,
所以 ~,
故 (由②).
同理可得, ,
所以 ,
從而 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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(1)若A,B,C,D四點(diǎn)共圓,求證:;
(2)若 ,是否一定有A,B,C,D四點(diǎn)共圓?證明你的結(jié)論.
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(1)若A,B,C,D四點(diǎn)共圓,求證:;
(2)若 ,是否一定有A,B,C,D四點(diǎn)共圓?證明你的結(jié)論.
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