如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點,,
為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.

(Ⅰ) 證明:平面；
(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)
(Ⅰ) 在圖1中,易得
連結,在中,由余弦定理可得

由翻折不變性可知,
所以,所以,
理可證, 又,所以平面.

(Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結,
因為平面,所以,
所以為二面角的平面角.
結合圖1可知,為中點,故,從而
所以,所以二面角的平面角的余弦值為.
向量法:以點為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,

則,,
所以,
設為平面的法向量,則
,即,解得,令,得
由(Ⅰ) 知,為平面的一個法向量,
所以,即二面角的平面角的余弦值為.
解決折疊問題，需注意一下兩點：1.一定要關注“變量”和“不變量”在證明和計算中的應用:折疊時位于棱同側的位置關系和數(shù)量關系不變;位于棱兩側的位置關系與數(shù)量關系變；2.折前折后的圖形結合起來使用.如本題第一問，關鍵是由翻折不變性可知,借助勾股定理進行證明垂直關系；（2）利用三垂線定理法或者空間向量法求解二面角. 求二面角：關鍵是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂線定理定角法，先找到一個半平面的垂線，然后過垂足作二面角棱的垂線，再連接第三邊，即可得到平面角。若考慮用向量來求：要求出二個面的法向量，然后轉化為,要注意兩個法向量的夾角與二面角可能相等也可能互補，要從圖上判斷一下二面角是銳二面角還是鈍二面角，然后根據(jù)余弦值確定相等或互補即可。
【考點定位】考查折疊問題和二面角的求解，考查空間想象能力和計算能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在矩形中，，點在邊上，點在邊上，且，垂足為，若將沿折起，使點位于位置，連接，得四棱錐．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，直線與平面所成角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖， 在三棱錐中，．

（1）求證：平面平面；
（2）若，，當三棱錐的體積最大時，求的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在三棱錐中，平面，，分別是的中點，，與交于，與交于點，連接。

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱中， ，，，點是的中點，.

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）設點在線段上，，且使直線和平面所成的角的正弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知長方形ABCD中，AB＝2，A1，B1分別是AD，BC邊上的點，且AA1=BB1="1," E，F(xiàn)分別為B1D與AB的中點. 把長方形ABCD沿直線折成直角二面角，且.

（1）求證：
（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在五棱錐P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=，AB=2，BC=2AE=4，是等腰三角形．

（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求四棱錐P—ACDE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

圓柱的側面展開圖是邊長為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為        .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，，，過動點A作，垂足在線段上且異于點，連接，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（1）當的長為多少時，三棱錐的體積最大；
（2）當三棱錐的體積最大時，設點，分別為棱、的中點，試在棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大�。�

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